分析历史
希腊人遇到连续不断的困难
分析由数学中那些需要不断变化的部分组成。这些内容包括运动以及平滑曲线和曲面的几何形状的研究，尤其是切线，面积和体积的计算。古希腊数学家在分析的理论和实践上都取得了长足的进步。毕达哥拉斯发现的非理性幅度使理论强加于它们约500 bce，而芝诺运动悖论则迫使它们约450 bce。
勾股数和无理数
最初，毕达哥拉斯人相信所有事物都可以通过离散的自然数（1、2、3，
。
）及其比率（普通分数或有理数）。但是，这一发现被发现不能将单位正方形（即边长为1的正方形）的对角线表示为有理数而动摇。这个发现是由他们自己的毕达哥拉斯定理引起的，该定理确定直角三角形的斜边的平方等于其他两侧的平方之和-用现代符号c 2 = a 2 + b 2。在单位正方形中，对角线是直角三角形的斜边，边为a = b = 1；因此，它的度量是√2的平方根-一个无理数。毕达哥拉斯人违背自己的意图，表明有理数不足以测量简单的几何物体。（请参见补充工具栏：不可估量。）他们的反应是创建线段的算术，这在《欧几里得的元素第二卷》（约公元前300年）中可以找到，其中包括对有理数的几何解释。对于希腊人来说，线段比数字更笼统，因为它们既包含连续幅度也包含离散幅度。
的确，√2的平方根只能通过无限过程与有理数相关。这是由Euclid实现的，他研究了有理数和线段的算术。他著名的欧几里得算法，当应用于一对自然数时，导致它们最大公约数的有限步数。但是，当将其应用于具有非理性比的一对线段时，例如√2和1的平方根，则无法终止。欧几里得甚至将这种非终结性作为非理性的标准。因此，非理性迫使希腊人处理无限过程，从而挑战了希腊的数字概念。
芝诺悖论与运动概念
正如√2的平方根对希腊人的数字概念构成挑战一样，芝诺悖论对他们的运动概念构成挑战。亚里士多德在《物理学》（约公元前350年）中引用了芝诺的话：
没有运动是因为运动的物体必须在到达路线的中间之前到达路线的中间。
芝诺的论点只有亚里士多德才知道，亚里士多德引用它们主要是为了驳斥它们。Zeno大概意味着，要到达任何地方，必须先走一半，然后再走四分之一，再走八分之一，依此类推。由于将距离减半的过程将持续到无限（希腊人不会接受的概念），因此芝诺声称“证明”现实是由不变的存在构成的。尽管如此，尽管他们厌恶无限，希腊人还是发现该概念在连续量级的数学中必不可少。因此，他们在称为比例理论的逻辑框架中使用穷竭方法，尽可能无限地推理无限。
比例理论是由尤多克斯（Eudoxus）在大约公元前350年创造的，保存在《欧几里得的元素》第五卷中。它通过定义两个大小相等（如果小于两个合理大小）的相等大小，从而在有理大小和任意大小之间建立了精确的关系。换句话说，只有两个量级之间严格存在一个合理的量级，两个量级才是不同的。这个定义为数学家服务了两千年，并为19世纪的分析算法化铺平了道路，其中根据有理数严格地定义了任意数。比例理论是对极限概念的第一个严格处理，这是现代分析的核心。用现代术语来说，Eudoxus的理论将任意大小定义为有理大小的极限，关于大小之和，差和乘积的基本定理等同于关于大小之和，差和乘积的定理。
