圆锥截面几何

圆锥截面，在几何中也称为圆锥，由平面和直圆锥的相交产生的任何曲线。根据平面相对于圆锥的角度，相交为圆形，椭圆形，双曲线或抛物线。当平面仅通过顶点（产生一个点）或通过顶点和圆锥体上的另一个点（产生一条直线或两条相交的直线）时，会发生特殊的（退化）相交情况。见图。

射影几何：射影圆锥截面

圆锥截面 s可被视为直角圆锥的平面截面（见图）。通过考虑

。

圆锥部分的基本描述而不是名称，可以追溯到梅纳希姆斯（蓬勃发展的大约公元前350年），这是柏拉图和Cnidus的Eudoxus的学生。佩尔加的阿波罗尼乌斯（Apollonius of Perga，约公元前262-190年）被称为“大几何体”，给圆锥形部分起了自己的名字，并且是第一个定义双曲线的两个分支（以双圆锥为前提）的人。阿波罗尼乌斯（Apollonius）在圆锥曲线上的八卷论文《圆锥曲线》是古代世界上最伟大的科学著作之一。

分析定义

圆锥曲线也可以描述为平面曲线，它是点移动的路径（位置），因此其到固定点（焦点）的距离与到固定线（准线）的距离的比是一个常数，称为曲线的偏心率。如果偏心率为零，则曲线为圆；如果为零，则曲线为圆。如果等于1，则为抛物线；如果小于一个，则为椭圆形；如果大于一个，则为双曲线。见图。

每个圆锥形截面都对应于形式为Ax ² + By ² + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0 的二次多项式方程的图形，其中x和y是变量，A，B，C，D，E和F是取决于特定圆锥曲线的系数。通过适当选择坐标轴，可以将任意圆锥的方程式简化为三种简单的r形式之一：^{x ² / _{a ²} + ^{y ² / _{b ²} = 1，^{x ² / _{a ²} - ^{y ² / _{b ²} = 1或y ² = 2px，分别对应于椭圆，双曲线和抛物线。（一个椭圆，其中a = b实际上是一个圆。）坐标系广泛用于几何曲线的代数分析，起源于RenéDescartes（1596–1650）。请参见几何历史：笛卡尔几何。}}}}

希腊血统

圆锥截面的早期历史与“将立方体加倍”的问题联系在一起。根据赛勒斯的埃拉托斯涅斯（公元前276年至190年），德洛斯人民向阿波罗神谕咨询以终结瘟疫（约公元前430年），并被指示建造阿波罗新圣坛，其体积是旧圣坛体积的两倍。并具有相同的立方形状。困惑的德尔里安人咨询了柏拉图，柏拉图说：“神谕的意思不是说上帝想要一个两倍大的祭坛，而是他希望在给他们定下任务时，要羞辱希腊人对数学的忽视和蔑视。几何。” 希俄斯人希俄克拉底（约公元前470年至410年）首先发现，可以将“迪安问题”简化为在a和2a（各个祭坛的体积）之间找到两个平均比例，即确定x和y使得a ：x = x：y = y：2a。这等效于同时求解方程式x ² = ay，y ² = 2ax和xy = 2a ^2中的任意两个，分别对应于两个抛物线和一个双曲线。后来，阿基米德（约公元前290-211年）展示了如何使用圆锥截面将球体分成具有给定比率的两个部分。

教区（约公元前200年）从几何角度证明，平行于抛物面旋转轴（通过围绕其对称轴旋转抛物线产生）的光线（例如，来自太阳的光线）在焦点处会合。据说阿基米德曾利用这一特性将敌舰纵火。椭圆的焦点特性被特拉勒斯的Anthemius（君士坦丁堡圣索菲亚大教堂的建筑师之一）（引用于537年）引用，以确保祭坛可以整天被阳光照亮。