形式逻辑

语义表

自1980年代以来，另一种用于确定PC或LPC中参数有效性的技术由于其易学性和通过计算机程序的直接实现而受到欢迎。它最初是由荷兰逻辑学家Evert W. Beth提出的，后来由美国数学家和逻辑学家Raymond M. Smullyan更全面地开发和发布。基于以下结论：当结论为假时，有效论点的前提不可能为真，因此该方法尝试以同时满足所有前提和否定前提的方式来解释（或评估）前提。结论也很满意。这种努力的成功将表明该论点是无效的，而未能找到这种解释将表明其是有效的。

语义表的构建过程如下：仅使用否定（〜）和析取（∨）作为命题连接词来表达PC中论点结论的前提和否定。消除序列中两个否定符号的每次出现（例如，~~~~~ a变成〜a）。现在构造一个向下分支的树形图，以便每个分叉被两个分支替换，一个分支用于左边的分支，一个分支在右边。如果任一分支为真，则原始析取为真。参考德摩根定律表明，只要两个析取的取反都为真[即，（p = q）≡（〜p·〜q）]，则对析取的取反是正确的。这种语义上的观察导致这样一个规则，即析取取反变成一个分支，其中包含每个析取取反。

考虑以下参数：

写：

现在剔除分离并形成两个分支：

只有在至少一个分支中的所有句子都是正确的情况下，原始前提才能是正确的，而结论是错误的（等效于结论的否定）。通过将每个分支中的线向上跟踪到树的顶部，可以观察到左分支中没有对a的求值将导致该分支中的所有句子都接收到值true（由于存在a和〜a）。类似地，在右分支中，b和〜b的存在使赋值不可能导致分支的所有语句都接收到值true。这些都是可能的分支。因此，不可能找到前提为真而结论为假的情况。因此，原始参数是有效的。

该技术可以扩展为处理其他连接词：

此外，在LPC中，需要引入实例化量化wff的规则。显然，任何同时包含（∀x）ϕx和ϕy的分支都是不能同时满足该分支中所有语句的分支（在ω一致性的假设下；请参见元逻辑）。同样，如果所有分支均不能同时满足，则原始参数有效。

LPC的特殊系统

如上所述，可以通过多种方式限制或扩展wff的范围来修改LPC：

1.LPC的部分系统。这里概述了一些由限制产生的更重要的系统：
- a。可能要求每个谓词变量都是一元变量，同时仍然允许无限数量的单个谓词变量。那么，原子wff就是那些由谓词变量和单个单个变量组成的wff。否则，尽管以明显的方式进行了简化，但是形成规则仍然保持不变，有效性的定义也保持不变。该系统称为单子LPC。它提供了属性的逻辑，但没有提供关系的逻辑。该系统的一个重要特征是可判定的。（但是，即使仅引入一个二元谓词变量也会使系统无法确定，实际上，即使是仅包含一个二元谓词变量而根本没有其他谓词变量的系统也显示出不确定性。）
- b一个更简单的系统可以通过要求（1）每个谓词变量为一元变量，（2）仅使用单个单个变量（例如x），（3）每次绑定此变量的出现和（ 4）在其他范围内没有量词出现。该系统的wff的示例是（∀x）[ϕx⊃（ψx·χx）]（“ What既是ψ又是χ”）；（∃x）（ϕx·〜ψx）（“有些东西是ϕ，但不是ψ”）；和（∀x）（ϕx⊃ψx）⊃（∃x）（ϕx·ψx）（“如果whatever是ψ，则东西既是ψ，又是ψ”）。通过在各处省略x并将and表示为“某物是ϕ”，将∀（ϕψψ）表示为“无论是ϕ是ψ”，都可以简化该系统的表示。尽管该系统比单子LPC（它是一个片段）更基本，但是可以在其中表示各种推断的形式。它也是一个可判定的系统，并且可以为其提供基本类型的判定程序。
2.LPC的扩展。通过向LPC添加各种类型的新符号，已经构建了更加精细的系统，可以在其中表达更广泛的主张。这些添加最直接的是：
- 一个或多个单个常量（例如，a，b，
  
  。
  
  ）：这些常数被解释为特定个体的名称；从形式上说，它们不能与量词区分开，因为它们不能在量词中出现。例如（∀x）是一个量词，而（∀a）不是。
- b。一个或多个谓词常量（例如，A，B，
  
  。
  
  ），每一个都有特定的程度，被认为是指定特定的属性或关系。

另一个可能的增加要求更全面的说明，由旨在代表功能的符号组成。出于当前目的，可以如下充分地解释功能的概念。当存在一个指定了所有自变量的唯一对象（称为函数的值）的规则时，就可以说n个自变量（或n级）具有某种功能。例如，在人类领域，“……的母亲”是一元函数（一种论点的函数），因为每个人都有一个独特的个体，即他的母亲。并在自然数的范围内（即0、1、2，

。

），“-和-的总和”是两个参数的函数，因为对于任何一对自然数，都有一个自然数即它们的总和。可以将功能符号认为是在其他名称（其参数）之外形成名称。因此，每当x和y命名数字时，“ x和y的总和”也命名一个数字，类似地，其他类型的函数和参数也是如此。

为了使功能可以在LPC中表达，可以添加：

c。一个或多个函数变量（例如，f，g，

。

）或一个或多个函数常量（例如F，G，

。

）或两者兼有，每个都有特定的度数。前者被解释为覆盖指定学位的功能，而后者被解释为指定该学位的特定功能。

当将任何一个或全部a-c添加到LPC时，需要修改低级谓词演算（请参见上文，低级谓词演算）部分第一段中列出的构成规则，以使新符号可以并入wffs。这可以按以下方式完成：首先将一项定义为（1）一个单独的变量或（2）一个单独的常数，或者（3）通过将n阶的函数变量或函数常数作为n个项的前缀而形成的任何表达式（这些术语（功能符号的自变量）通常用逗号分隔并括在括号中）。然后将编队规则1替换为：

1'。由阶次为n的谓词变量或谓词常量组成的表达式为wff。

关于LPC的公理化的部分（请参见上文LPC的公理化）中给出的公理基础也需要进行以下修改：在公理模式2中，当β形成时，只要不存在自由变量，都可以用任何术语代替a。项绑定在β中。以下示例将说明对LPC的上述添加方式的使用：各个变量的值为自然数；让各个常数a和b分别代表数字2和3；让A表示“是素数”；并让F代表二进位函数“和”。然后AF（a，b）表示命题“ 2和3的和为素数”，而（∃x）AF（x，a）表示命题“存在一个数，使得它和2的和为素数。”

常数的引入通常伴随着包含这些常数的特殊公理的公理基础的增加，这些公理旨在表达持有由它们代表的对象，特性，关系或函数的原理，尽管它们不持有对象，特性，关系或功能。例如，可以决定使用常数A来表示二元关系“大于”（因此Axy表示“ x大于y”，依此类推）。与许多其他关系不同，这种关系是可传递的。即，如果一个对象大于第二个对象，而第二个对象又大于第三个对象，则第一个对象大于第三个对象。因此，可以添加以下特殊的公理模式：如果t ₁，t ₂和t ₃是任意项，则（At ₁ t ₂ ·At ₂ t ₃）⊃At ₁ t ₃是公理。通过这种方式，可以构建系统来表达各种特定学科的逻辑结构。大多数这类工作已完成的领域是自然数算法。

PC和LPC有时会组合成一个系统。这可以通过将命题变量添加到LPC基元列表，添加形成规则（使命题变量单独为wff）以及在公理模式1中删除“ LPC”来最简单地完成。为（p∨q）⊃（∀x）ϕx和（∃x）[p⊃（∀y）ϕxy]。

3.具有身份的LPC。“ is”一词并非总是以相同的方式使用。在诸如（1）“苏格拉底被冷落”的命题中，“ is”之前的表达式表示一个个体，而其后的表达式则代表该个体的属性。但是，在诸如（2）的命题“苏格拉底是喝铁杉的雅典哲学家”中，在“是”之前和之后的表述都称呼个人，而整个命题的含义是，由第一个称呼的个人是与第二个人指定的个人相同。因此，在2中，“是”可以扩展为“与…相同”，而在1中则不能。如2中所用，“是”代表命题断言在两个人之间保持的二元关系（即身份）。在此上下文中，身份主张应被理解为仅主张这一点。特别地，不应认为这两个命名表达具有相同的含义。讨论这一点的一个广为讨论的示例是“晨星是夜星”。“晨星”和“晚星”的表述相同是错误的，但是的确是前者所指的物体与后者所指的物体（金星）相同。

为了能够表达身份命题的形式，在LPC上添加了二进谓语常量，对于该常量最常用的表示法是=（写在其参数之间而不是之前）。对x = y的预期解释是x与y是同一个体，最方便的读法是“ x与y相同”。它的取反〜（x = y）通常缩写为x≠y。在前面给出的LPC模型的定义中（请参见上文LPC中的有效性），现在添加了一个规则（该规则明显符合预期的解释）：如果x的相同成员，则x = y的值为1。 D同时分配给x和y，否则D的值为0；否则为0。然后可以像以前定义有效性。在LPC的公理基础上进行了以下添加（或某些等效的添加）：公理x = x和公理方案，其中a和b是任何单个变量，而α和β是wff，它们的唯一区别在于，在一个或多个位置的a可以自由出现a，β的位置可以自由出现b，（a = b）⊃（α⊃β）是一个公理。这样的系统被称为具有身份的低谓词演算。当然，可以用上面“ LPC的扩展”中提到的其他方式进一步扩展它，在这种情况下，任何术语都可以是=的自变量。

身份是等价关系；即，它是自反的，对称的和可传递的。它的自反性直接用公理x = x表示，表达它的对称性和传递性的定理可以很容易地从给定的基础上得出。

具有身份的LPC的某些wff表示关于拥有给定属性的事物的数量的命题。“至少一件事是ϕ”，当然可以用（∃x）ϕx表示；现在可以用（distinctx）（∃y）（ϕx·ϕy·x≠y）表示“至少两个不同的（不同的）事物是ϕ”；并且该序列可以以明显的方式继续。“至多一件事是ϕ”（即“没有两个不同的事物都是ϕ”）可以通过否定最后提到的wff或等价的（，x）（∀y）[（ϕx· ϕ y）⊃x = y]，该序列可以再次轻松继续。可以通过将“至少一个事物是ϕ”和“至多一个事物是ϕ”的公式结合起来获得“完全是ϕ”的公式，但是等效于此连词的更简单的wff是（∃x）[ϕx·（∀y）（ϕy⊃x = y）]，这表示“有东西是ϕ，任何东西都是ϕ。” 命题“正好是两件事”可以用（∃x）（∃y）{ϕx·ϕy·x≠y·（∀z）[ϕz⊃（z = x∨z = y）]}}表示；即，“有两个不相同的事物，每个事物都是ϕ，而任何与ϕ相同的事物都是其中之一。” 显然，该序列也可以扩展为每个自然数n给出“正好n个事物是ϕ”的公式。将“刚好一件事是ϕ”的wff缩写为（∃！x）ϕx很方便。这种特殊的量词经常被大声读出为“ E-Shriek x”。

明确的描述

当某个属性to属于一个且只有一个对象时，使用命名该对象的表达式会很方便。为此目的常用的符号是（ιx）ϕx，可以将其理解为“是the的事物”，或更简单地理解为“ the the”。通常，在a是任何单个变量且α是任何wff的情况下，（ιa）α则表示使α成立的a的单个值。“某某”形式的表达称为定性描述。可以将描述为描述运算符的（ιx）视为从命题形式中形成一个人的名字。（ιx）类似于量词，因为当加到wffα前缀时，它绑定了α中x的每次自由出现。也可以重新绑定变量的字母；在最简单的情况下，（ιx）ϕx和（ιy）ϕy都可以简单地理解为“ the”。

就构成规则而言，可以通过将（aa）α形式的表达式计为术语来将明确的描述并入LPC。然后，在“ LPC的扩展”中的上面的规则1'中，将允许它们出现在原子式（包括恒等式）中。然后“ ϕ是（即具有性质）ψ”可以表示为ψ（ιx）ϕx；“ y与（是同一个人”，因为y =（ιx）ϕx；“ The与ψ（与个体相同）”为（ιx）ϕx =（ιy）ψy；等等。

对包含明确描述的命题进行正确的分析一直是相当大的哲学争论的主题。然而，一个被广泛接受的解释-实质上是在数学原理中提出的，并被称为拉塞尔的描述理论-认为“ ϕ是ψ”应理解为是指一件事就是ϕ，而该事物也是ψ。在那种情况下，它可以由不带描述运算符的具有身份的LPC的wff表示，即（1）（∃x）[ϕx·（∀y）（ϕy⊃x = y）·ψx]。类似地，“ y是ϕ”被分析为“ y是ϕ，没有其他事物是ϕ”，因此可表示为（2）ϕy·（∀x）（ϕx⊃x = y）。“ The是ψ”被分析为“正好是thing，正好是ψ，whatever是ψ”，因此可以表示为（3）（∃x）[ϕx·（∀y）（ ϕy⊃x = y）]·（∃x）[ψx·（∀y）（ψy⊃x = y）]·（∀x）（ϕx⊃ψx）。ψ（ιx）ϕx，y =（ιx）ϕx和（ιx）ϕx =（ιy）ψy然后可以分别视为（1），（2）和（3）的缩写；并且通过归纳为更复杂的情况，所有包含描述运算符的wff都可以被视为较长wff的缩写。

得出（1）作为“ The is isψ”的公式的分析得出以下结果：“ The is notψ”：（4）（∃x）[ϕx·（∀y）（ϕy⊃x = y）·〜ψx]。重要的是要注意，（4）不是（1）的否定；这个否定取而代之的是（5）〜（∃x）[ϕx·（∀y）（ϕy⊃x = y）·ψx]。（4）与（5）含义的差异在于，只有当只有一个事物是ϕ而不是ψ时，（4）才是正确的，但在这种情况下（5）都是正确的。当一无所有是and，并且一件以上的事情是ϕ时。忽视（4）和（5）之间的区别会导致思想的严重混乱；在普通的讲话中，经常不清楚的是，否认ϕ是ψ的人是在承认一件事就是ϕ，而是否认在ψ，还是否认一件事是ϕ。

罗素描述理论的基本论点是，包含明确描述的命题不应被视为关于该描述为其名称的对象的断言，而应被视为某种（相当复杂）属性具有的存在主义量化断言。一个实例。正式地，这反映在上面概述的消除描述运算符的规则中。