范畴论
数学抽象
数学发展的一种最新趋势是抽象的渐进过程。挪威数学家尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802–29年）证明，通常无法用根数求解五阶方程。法国数学家ÉvaristeGalois（1811–32）在某种程度上受到亚伯（Abel）工作的推动，引入了某些排列组合来确定可求解多项式方程式的必要条件。这些具体的群体很快就产生了抽象的群体，这些群体在公理上进行了描述。然后，人们意识到要研究小组，就必须研究不同小组之间的关系，尤其是同态性，这种同构性将一个小组映射到另一个小组，同时保留小组的运作。因此，人们开始研究现在称为组的具体类别，这些组的对象是组，箭头是同态。不久后，具体类别被抽象类别所取代，再次由公理式描述。
在第二次世界大战结束时，塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg）和桑德斯·麦克·兰（Saunders Mac Lane）提出了类别的重要概念。这些现代类别必须与亚里士多德的类别区分开，亚里士多德的类别在当前情况下更好地称为类型。类别不仅在对象之间具有对象，而且还具有箭头（也称为形态，变换或映射）。
许多类别的对象集都有一些结构和箭头，这些结构和箭头保留了此结构。因此，存在集合（具有空结构）和映射，组和群同态，环和环同态，向量空间和线性变换，拓扑空间和连续映射等类别。在更抽象的层次上，甚至存在（小）类别和函子的类别，这是因为类别之间的态射被调用，从而保留了对象和箭头之间的关系。
并非所有类别都能以这种具体方式查看。例如，演绎系统的公式可以看作是类别的对象，其箭头f：A→B是从A推导B的事实。实际上，这种观点在理论计算机科学中很重要，在该理论中，公式被认为是作为类型，作为操作扣除。
更正式地说，类别包括（1）对象A，B，C，…的集合。。。，（2）对于集合中的每个有序对象对，包括I A：A→A 等式的转换相关集合，以及（3）对于类别中每个有序三元组对象的相关组成定律，使得f：A→B和g：B→C组成gf（或g○f）是从A到C的变换，即gf：A→C。此外，还需要保持关联律和恒等式该组合物所定义的） -即，H（GF）=（HG）f和1个乙 F =为f = f1 甲。
从某种意义上说，抽象类别的对象没有窗口，就像莱布尼兹的单子一样。要推断对象A的内部，只需查看从其他对象到A的所有箭头。例如，在集合的类别中，集合A的元素可以用从典型的单元素集合到A的箭头表示。类似地，在小类别的类别中，如果1是具有一个对象且没有非同一性箭头的类别，则可以使用函子1 → A来标识类别A的对象。此外，如果2是具有两个对象和一个非同一性箭头的类别，则可以用函子2 → A来标识A的箭头。
同构结构
箭头f：A→B被称为一个同构，如果有一个箭头g：B→A逆到f -即，使得克○F = 1 阿和f○G = 1个乙。这称为A≅B，并且A和B称为同构，这意味着它们具有基本相同的结构，无需区分它们。由于数学实体是类别的对象，因此它们仅具有同构性。他们的传统集合理论结构除了起到显示一致性的有用目的外，实际上是无关紧要的。
例如，在整数环的通常构造中，整数定义为自然数对（m，n）对的等价类，其中（m，n）等于（m'，n'），如果且仅当m + n'= m'+ n时。这个想法是（m，n）的等价类被视为m − n。但是，对于分类学家而言重要的是，整数环is是环和同态类别中的初始对象-也就是说，每个环ℝ都有唯一的同构ℤ→ℝ。从这种方式看，ℤ仅被赋予同构。本着同样的精神，应该说不是not包含在有理数域but中，而只是说同态ℤ→ℚ是一对一的。同样，如果将π和√-1的平方根的集合理论交集都表示为集合的集合（无穷大），也没有道理。
在基金会和其他地方特别感兴趣的是伴随函子（F，G）。这是两个类别?和between之间的对函子，它们对的方向相反，因此in中的箭头F（A）→B与箭头A→G（B）之间存在一对一的对应关系。 ）中的-表示集合是同构的。
