Riemann zeta函数，在数论中用于研究素数性质的函数。写成ζ（x），最初定义为无穷级数ζ（x）= 1 + 2 -x + 3 -x + 4 -x +⋯。当x = 1时，该级数称为谐波级数，该级数无穷大地增加，即其和为无限大。对于x大于1的值，随着相继项的增加，级数收敛到有限数。如果x小于1，则总和再次为无穷大。Zeta函数在1737年被瑞士数学家Leonhard Euler所熟知，但首先由德国数学家Bernhard Riemann进行了广泛的研究。
黎曼（Riemann）在1859年发表了一篇论文，给出了高达任意预定极限数的素数的明确公式，这是对素数定理给出的近似值的确定改进。但是，黎曼公式依赖于知道zeta函数的广义版本等于零的值。（Riemann zeta函数是为所有复数定义的，即x + iy形式的数字，其中i = √−1的平方根，除了x = 1的行。）Riemann知道对于所有负数，该函数均等于零整数-2，-4，-6，
。
（所谓的平凡零），并且在x = 0和x = 1的线之间的复数临界带中有无限个零，并且他还知道所有非平凡零点都相对于临界对称行x = 1 / 2。黎曼猜想所有非平凡的零点都在临界线上，这一猜想后来被称为黎曼假设。
1900年，德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）称黎曼假设为所有数学中最重要的问题之一，这一点从他对20世纪数学家提出的23个未解决问题的影响力清单中可以看出。1915年，英国数学家戈弗雷·哈迪（Godfrey Hardy）证明了临界线上有无数个零，到1986年，第一个1,500,000,001个非平凡的零都显示在临界线上。尽管该假设可能仍然是错误的，但对这一难题的研究使人们对复数有了更丰富的理解。
