逻辑与逻辑
从某种意义上说，逻辑是用一阶谓词演算来识别的，即将变量限制在固定域中的个体的演算，尽管它也可以包括身份逻辑，用“ =”表示将身份的普通属性作为逻辑的一部分。从这个意义上讲，Gottlob Frege早在1879年就实现了逻辑的形式演算。然而，有时逻辑也被解释为包括更高阶的谓词演算，这些演算也接受更高类型的变量，例如范围在谓词（或类和关系）上的变量。 ） 等等。但是，这只是包含集合论的一小步，事实上，公理集合论通常被视为逻辑的一部分。但是，出于本文的目的，更恰当的是将讨论局限于逻辑上。
很难将逻辑学中的重要发现与逻辑学中的重要发现区分开，因为逻辑学家感兴趣的所有定理都与逻辑有关，因此属于逻辑学。如果p是一个数学定理，尤其是关于逻辑的定理，并且P是证明p所用的数学公理的和，那么每个p都可以转化为一个定理，即“非P或p”。但是，通过明确执行逻辑形式化的所有步骤来完成数学工作是不可能的。公理的选择和直观理解对于数学和元数学都非常重要。逻辑的实际推导，例如第一次世界大战之前阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德（Alfred North Whitehead）和贝特朗·罗素（Bertrand Russell）所做的推论，对逻辑学家来说并没有什么内在的兴趣。因此，引入术语“逻辑”可能显得多余。然而，在目前的分类中，元学被认为不仅处理关于逻辑结石的发现，而且还涉及对形式系统和形式语言的研究。
普通的形式系统与逻辑演算的不同之处在于，系统通常具有预期的解释，而逻辑演算则故意使可能的解释保持开放状态。因此，例如，人们说的是形式系统中句子的真实性或虚假性，但就逻辑演算而言，人们说的是有效性（即在所有解释或所有可能的世界中都是真实的）和满足性（或具有模型，即在某些特定解释中为真）。因此，逻辑演算的完整性与形式系统具有完全不同的含义：逻辑演算允许许多句子，因此无论句子还是其否定都不是一个定理，因为在某些解释中它是正确的而在另一些解释中是错误的，它只要求每个有效句子都是一个定理。
